Qual a sua velocidade agora?

No post passado introduzi a ideia fundamental de intervalo espaço temporal, (ou simplesmente, intervalo como é mais comumente chamado pelos físicos, e como o chamarei de agora em diante). Mostrei que a invariância dessa quantidade necessariamente gera discordância em medições de tempo para 2 referenciais que analisam o mesmo par de eventos. Mas o intervalo foi introduzido quase como mágica, uma equação que parece ter saído do nada. Enfim, parece que nada foi realmente explicado. Por que o intervalo é invariante para os dois referenciais na sala do post passado?

Não foi assim que aconteceu na historia, mas poderia acontecer  que relógios ultra-precisos e réguas ultra- precisas fossem inventadas e popularizadas antes da relatividade. As pessoas então ficariam perplexas ao saber que o intervalo entre quaisquer dois eventos era sempre o mesmo. Poderiamos simplesmente adotar isso como uma lei física fundamental. 

Mas vamos além. Será que há outro fato mais fundamental por trás da invariância do intervalo? Afinal, poderiamos adotar como leis fundamentais, as seguintes três: maçãs caem das ároves, a lua orbita a terra, a terra orbita o sol. Estaríamos descrevendo a natureza simplesmente. Mas o escopo da fisica vai além, pois busca achar mecanismos de causa e consequência gerais.  Assim, se pensarmos um pouco como Newton, chegaremos a conclusão de que há uma força de gravitação entre quaisquer dois corpos materiais. E isso explica tudo que foi observado de uma só vez e com um só conceito.

Voltando a questão inicial, vamos achar causas mais naturais que tenham como consequência a invariância do intervalo.  Primeiro temos que estudar um pouco o que é um referencial inercial. E pra entrar nesse assunto, nada melhor do que uma pergunta: qual a sua velocidade agora?

O leitor diria: ''estou parado''. Será? Olhando de um foguete espacial, a Terra parce estar girando. "Ok, estou em movimento circular uniforme''. Não tenha tanta certeza. Dos telescópios, parece que toda a nossa galáxia está em movimento a milhares de quilomêtros por hora. ''Será que não há forma alguma de descobrir minha verdadeira velocidade?''. Boa pergunta.

É muito interessante notar que apesar de ser difícil encontrar velocidades ''verdadeiras'', parecem existir ''acelerações'' verdadeiras. Se você estiver dentro do carro, e esse acelerar de repente, você será pressionado contra o banco com força. Ou seja, existem muitos experimentos  que podem lhe responder se você está acelerando ou não. Se você estiver dentro de um carro totalmente fechado, e for pressionado contra o banco, você sabe que está sendo acelerado. Você não foi pressionado contra o banco por uma lei física desconhecida. Simplesmente, o carro entrou em movimento, e sua tendência, pela inércia, é permanecer em repouso. Por isso o carro pressiona você e lhe acelera até que você e o carro tenham a mesma velocidade. ''Forças fictícias'' aparecem quando você analisa a física usando um referencial acelerado. Referenciais assim são chamados de ''não-inerciais''.


Podemos descobrir nossa aceleração observando as forças fictícias. Mas a aceleração é a taxa de variação da velocidade, e é independente dela. Você pode acelerar a 10m/s² estando a uma velocidade de 1000000km/h ou 0km/h. A pergunta, ''que velocidade eu tenho em relação ao espaço agora'' parece mais difícil de responder.

Simplesmente olhar as redondezas não parece ser um método eficaz. Quem sabe, poderíamos estar nos movendo a milhões de quilômetros por hora. Mas se todos os outros corpos ao redor estivessem também a essa mesma velocidade, pareceria que estávamos parados. Não parece haver forças fictícias, como no caso da aceleração, para nos ajudar. Se houvesse uma lei da física que dependesse da sua ''verdadeira'' velocidade, você poderia finalmente descobrí-la. Por exemplo, se fosse verdade que a força da gravidade entre dois corpos dependesse da "velocidade real'' deles em relação ao espaço vazio, você poderia, ao calcular a força gravitacional, encontrar também a velocidade. Existe alguma lei assim?

 No século XIX, estava completa finalmente a teoria do eletromagnetismo. Essa teoria teve tremendo sucesso, pois previa com muita exatidão tudo que acontecia com cargas elétricas e imãs, além de introduzir os conceitos de campo elétrico e magnético. As leis do eletromagnetismo, sim, dependiam da velocidade!
 Isso tem haver com o fato de uma corrente elétrica (cargas elétricas em movimento) gerar um campo magnético!

Vou reproduzir essas leis, chamadas equações de Maxwell abaixo. Se você não está familiarizado com cálculo diferencial e integral, não se assuste, não faz muita diferença se você não entender essa matemática.

''E'' é o vetor campo elétrico e ''B'' é o vetor campo magnético. Essas 4 equações descrevem  o comportamento de campos eletromagnéticos no tempo e espaço.

Quando combinamos essas 4 equações, chegamos  conclusão de que a luz é uma onda eletromagnética e se desloca com velocidade c aproximadamente igual a 300000 km/s. No entanto, e se estivermos nos movendo a 300000km/s, acompanhando uma onda eletromagnética? Nesse caso, deveríamos "ver" um feixe de luz parado, ou seja em repouso em relação a nós correto?

Mas é possível mostrar matematicamente que se com essa velocidade também pudermos aplicar as leis do eletromagnetismo, a nossa conclusão é que a luz deveria ter a mesma velocidade c! Ou seja, usando as equações acima, se dois referenciais distintos aplicarem as mesmas leis do eletromagnetismo, os dois chegariam a conclusão de que a velocidade de um mesmo feixe de luz era c, mesmo que esses dois referenciais tenham uma velocidade relativa um em relação ao outro.

Chegamos então ao seguinte: as equações de Maxwell só devem valer para referenciais "realmente" parados. E finalmente temos um teste para saber se você está parado ou não: faça um experimento eletromagnético! Se ele obedecer as equações de Maxwell, você está parado em relação ao espaço. Senão, você tem algum tipo de movimento.

E foi exatamente isso que os físicos fizeram. Mediram a velocidade da luz usando dois referencias diferentes, que tinham uma velocidade relativa um em relação ao outro. A conclusão bizarra a que chegaram, é que a velocidade da luz era, de fato, sempre a mesma! Ou seja, se você estiver se movendo a 300000km/s acompanhando um feixe de luz, você irá ''ver'' não um feixe de luz parado, mas um feixe de luz se movendo a 300000km/s! Ou seja, as equações de Maxwell valiam para todos os referenciais, não somente os ''parados''.

E então, qual a nossa verdadeira velocidade? O que Einstein fez foi simplesmente postular que não há resposta para essa pergunta. Todos os referenciais inerciais tem o direito de se declararem em repouso. E portanto todas as leis da física são as mesmas para todos os referenciais inercias. Simples.

Então, em particular, as leis do eletromagnetismo são as mesmas para dois referenciais que estão se movendo a uma velocidade relativa um em relação ao outro. Eles dois irão prever que a velocidade da luz é uma constante, igual a c. Na verdade, o simples postulado da relatividade de Einstein  prova que o intervalo é invariante. E portanto prova também que dois irmãos gemêos podem não ter a mesma idade. Pra mim, parece fácil ver que se há a velocidade de algo que é sempre a mesma para 2 pessoas que estão se movendo uma em relação a outra, essas 2 pessoas irão discordar sobre medições de tempo e espaço. Apesar de discordarem sobre essas medições, há uma ''coerência geométrica'' entre os dois referenciais como expliquei no post passado, de modo que o desenvolvimento posterior da relatividade levou a uma ''teoria geométrica do espaço-tempo''.

 Acho que a demonstração da invariância do intervalo a partir do postulado da relatividade é um pouco longa. Mas pra quem quiser, deve ser fácil encontrá-la no Google, especialmente em inglês.

Agora, um ''final remark''. É notável como tantas coisas podem ser explicadas ao mesmo tempo pelo princípio simples e natural da relatividade. Nas escolas, aprendemos português. Nossa língua tem uma série de regras, por exemplo, antes das letras 'p' e 'b' não se escreve 'n'. Bonba está errado. Entretanto, a lingua portuguesa tem muitas excessões para muitas de suas regras. Os linguistas, por mais que tentem, não conseguem encontrar um sistema lógico único e sem excessões que descreva todas as regras de escrita da língua portuguesa, simplesmente porque ela é complexa demais. Por que motivo, então, o próprio universo segue leis quantitativas tão gerais e simples entre seus elementos ? Por que o universo é tão simples a ponto de poder ser descrito por conjuntos de leis quantitativas gerais que não tem excessões? E por que, de todas formas que o universo poderia ter, ele parece escolher sempre a mais simples?

 

A geometria do espaço tempo

No post passado informei um fato, o de que o tempo não passa igual para os dois irmãos gêmeos quando um deles se movimenta em relação ao outro. A estranheza que a dilatação do tempo gera é perfeitamente natural, e levou a uma revolução na física que derrubou conceitos clássicos creditados como verdadeiros por séculos. A história que leva à descoberta da relatividade é longa e cheia de detalhes. Não vou tocar nesse assunto, muito embora a abordagem histórica seja importante.

Meu objetivo é mostrar a beleza da descrição do universo dada pela teoria da relatividade. Mas para entender tudo isso, precisamos divagar um pouco em outros assuntos. O caminho é um pouco longo (para um blog), mas espero escrever de uma forma clara o suficiente para que todos possam ao final perceber a simplicidade da teoria. Um post somente é muito pouco para atingir esse objetivo, por isso não vou exatamete explicar a relatividade agora, mas abrirei o caminho para isso. Comecemos.

Esqueça a dilatação do tempo por um segundo e reflita. Referenciais diferentes descrevem o universo de formas diferentes. Diferentes, mas coerentes. O que isso quer dizer? Se você estiver numa casa e olhar para cima, provavelmente irá ver um teto. Mas se você estiver no teto, o espaço acima de você será o céu. O universo é diferente para esses observadores? Não é diferente, mas é descrito de forma diferente! Enquanto para o primeiro o teto faz parte do espaço "acima", para o segundo faz parte do espaço "abaixo". Mas se a primeira pessoa souber que a segunda está acima do teto, ele saberá também que a segunda descreverá o teto como parte do espaço "abaixo" para ela. Ou seja, as duas descrições do universo não são iguais mas também não são independentes. Se B está acima de A, e C está acima de B, C está acima de A. As descrições são diferentes para diferentes referencias. O espaço é um só.  Esse parágrafo é importante. Voltaremos a ele em outras ocasiões.

Vamos tornar as coisas mais matemáticas. Imagine que você está numa sala com uma régua. Você marca um ponto na sala e o chama de origem. Com cada uma das réguas, a partir da origem, vamos marcar a posição dos pontos no espaço como mostra a figura.  A cada ponto do espaço na sala corresponde um trio de números. Vamos chamar um dos ponto de P. P tem coordenadas (x,y,z).

 Agora imagine um segundo referencial O´, rotacionado em relação ao primeiro. Isso seria equivalente a usar 3 novas réguas para medir distâncias usando uma orientação diferente em relação às 3 primeiras, como mostra a figura. Com esse referencial, também podemos mapear todo o espaço da sala com um trio de números.

O ponto P tem, nesse referencial, coordenadas (x´,y´,z´), que não são iguais aos (x,y,z) anteriores. A descrição dos diversos pontos do espaço muda com a orientação relativa dos dois referenciais. O trio de números assinalados ao ponto P não é o mesmo para os dois referenciais.  

Agora note uma coisa importante. Pouco importa como você orienta as réguas para dar posições aos diversos pontos. A distância entre o ponto P e qualquer outro dentro da sala não muda com sua descrição do espaço. Ou seja, o fato da lâmpada estar perto ou longe da porta não tem nada haver com o referencial que você escolhe para mapear os diversos pontos. O referencial é uma mera abstração matemática que associa a cada ponto 3 números.

Assim, as relações geométricas no espaço da sala não dependem da forma como as expressamos! Tanto faz se usamos as réguas com uma orientação ou outra, ou se marcamos a origem num ponto ou outro. Se calcularmos a distância entre dois pontos usando coordenadas (x,y,z) ou (x',y',z') o resultado será o mesmo.Se chegarmos a conclusão, por exemplo, de que as paredes são paralelas num referencial, também devemos chegar a mesma conclusão usando qualquer outro referencial. O espaço da sala e suas relações geométricas são únicos, muito embora a descrição depdenda do referencial.

Em linguagem matemática: como a origem dos dois referenciais coincide, a soma x²+y²+z² ( que é a distância de P à origem) é igual à soma x'²+y'²+z'². Assim, embora a descrição da posição do ponto P mude de acordo com o referencial, há uma grandeza que é sempre invariante (a distância entre dois pontos). A necessidade da igualdade da distância nos dois referencias assegura a coerência entre as 2 descrições.

Isso é geometria. O que a geometria poderia ter haver com a dilatação do tempo?

Na teoria da relatividade assumimos que todos os eventos que acontecem no universo acontecem em algum lugar do espaço e em algum instante de tempo. Por exemplo, um desses eventos seria você lendo esse texto. O local desse evento é em frente ao computador, e o tempo exatamente agora. Por exemplo:

Evento: queda de um lápis no chão.
Local: local no chão onde o lápis caiu.
Tempo: 1 hora atrás.

Vimos no parágrafo passado como podemos localizar qualquer ponto do espaço com um trio de números (as coordenadas x,y,z de um sistema cartesiano, por exemplo). Logo, podemos então, em princípio, localizar todos os eventos do universo com 4 coordenadas: 3 para a posição, e 1 para o tempo em que o evento ocorreu. Vamos então dar o nome  do conjunto de todos os eventos do universo de espaço-tempo. Esse nome vem do fato de que a cada evento podemos associar coordenadas espaciais e temporais. Note a semelhança com os referenciais geometricos do exemplo da sala. A diferença aqui é que além do espaço, localizamos os pontos também no tempo.

Assim, voltando ao exemplo da sala, imagine que um referencial "A" tem além de réguas, um relógio preciso. A tudo que acontece na sala "A" associa 4 números, 3 para a posição e 1 para o tempo. No entanto, seu referencial não é único. Seja "B" um referencial que se move em relação a "A" com velocidade constante 

"B" também pode associar a cada evento uma posição (x´,y´,z´) e um tempo (t´) dado pelo seu próprio relógio. Vamos imaginar que "A" e "B" analisam dois eventos na sala.Cada um mapeia esses eventos no espaço e no tempo de acordo com o seu sistema de coordenadas próprio (réguas e relógio).

     1º evento           2ºevento
A-> (xo,yo,zo,to)        (x,y,z,t)
B-> (xo´,yo´,zo´,to´)    (x´,y´,z´,t´)

Pois bem, dadas essas condições, aparece uma surpresa. Se "A" e "B" usarem cada um os quartetos de números que acharam em seus referenciais e calcularem a expressão

(x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)²-c²(t-to)²  ( expressão que A calcula usando seu referencial)

(x'-xo')²+(y'-yo')²+(z'-zo')²-c²(t'-to')²  (expressão que B calcula usando seu referencial)

onde c é aproximadamente o número 300000000, essa quantidade é a mesma para os dois referenciais! Isso vale para quaisquer dois eventos analisados por A e B.

Por que ? Porque todos os experimentos confirmam isso. Isso é algo que sempre se observa. É mais um fato, como o fato da Terra ser redonda ou de uma maça cair da sua mão se você a soltar. Essa quantidade que cada referencial pode calcular recebe o nome especial de ''intervalo espaço-temporal''. Portanto, resumindo, o intervalo espaço-temporal calculado por A e B é sempre o mesmo para quaisquer dois eventos.

As implicações desse fato são tremendas.

1) Por exemplo, suponha que uma bola está rolando dentro da sala. Ela começa no meio de uma parede e segue em linha reta com velocidade constante até o meio da parede oposta. Digamos que o referencial A está parado no ponto onde a bola começa o trajeto. Suponhamos que B seja a própria bola, com um relógio preso a ela. Para calcular o intervalo espaço temporal, precisamos de dois eventos. Vamos escolher
como o primeiro evento  aquele que ocorre quando A solta a bola do meio de uma parede, e como segundo evento aquele quando a bola toca o meio da parede oposta (ou seja, o final do trajeto).

"A" assinala a ao primeiro evento coordenadas xo=0 yo=0 zo=0 e um tempo to=0 (ele começa a cronometrar o tempo a partir do instante em que solta a bola) . Para o evento da bola tocando o meio da parede oposta, A assinala y=5 metros x=0 z=0 e um certo tempo t.

Já no referencial da bola, B, o primeiro evento também recebe coordenadas xo'=0 yo'=0 zo'=0 e to'=0. Para o segundo evento, a bola tocando a parede, o referencial da bola associa como coordenadas espaciais x=0 y=0 z=0 ( para o referencial da bola, o evento de tocar a parede acontece na própria origem).

Mas se o intervalo espaço-temporal é invariante:

(x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)²-c²(t-to)²=(x'-xo')²+(y'-yo')²+(z'-zo')²-c²(t'-to')²  

(lembre-se que c é um número aproximadamente igual a  300000000).

A conclusão é que A e B discordam sobre o tempo que a bola leva para percorrer seu trajeto até tocar a parede. É só substituir os valores:

(0-0)²+(5-0)²+(0-0)²-c²t²=(0-0)²+(0-0)²+(0-0)²-c²(t')² 

t'=t-(5²/c²)

Essa fórmula permite calcular exatamente essa diferença de tempo, inclusive! Mágica? Porque isso é verdade? E por que o número 300000000 é especial? (Uma observação, note que c tem que ter unidades de comprimento/tempo para que possamos somar quantidades com a mesma dimensão na expressão do intervalo espaço-temporal). Por que ninguém nunca notou isso? Como expliquei no post anterior, isso se deve ao fato de que relógios ultra precisos não são comuns. Note que c é um número muito grande. A diferença de tempo calculado nesse exemplo é de 25/c² que é de aproximadamente 0,00000000000000027 segundos. 

O fato de x²+y²+z²-(ct)² não depender do referencial usado para calculá-lo explica muitas coisas. Inclusive a diferença de idade dos irmãos gêmeos no post anterior. Mas e o que explica a igualdade entre os intervalos espaço-temporais? Veja que só mudamos a pergunta. E mais uma surpresa, c é exatamente igual à velocidade da luz. O que a luz tem haver com isso? Isso fica para os próximos posts. A definição dessas novas perguntas irá facilitar nosso caminho para a relatividade.

2)Agora um ponto muito importante. Antes havíamos usado 2 sistemas de referência para descrever o espaço numa sala. Ali, a ''distância'' entre quaisquer 2 pontos era invariante, não importando que referenciais usássemos. Isso garantia que, embora as descrições do espaço fossem diferentes nos diferentes referenciais, houvesse uma coerência entre essas descrições.

Aqui, estamos mapeando não o espaço, e sim o espaço-tempo ( conjunto de eventos). Aqui também podem haver referenciais diferentes para descrever o mesmo espaço-tempo, por exemplo, A e B que tem uma velocidade relativa constante um em relação ao outro. Mas encontramos o análogo no espaço-tempo do que é a distância para o espaço: o intervalo espaço-temporal,  é uma quantidade que pode ser calculada
usando-se qualquer referencial, mas que seu valor no entanto não depende do referencial que usamos. Assim, embora referenciais discordem de quando e onde os eventos no universo ocorreram, o intervalo espaço-temporal calculado por eles é sempre o mesmo. Será que poderíamos ir adiante e criar uma geometria do espaço-tempo?

Sim. Essa é a teoria da relatividade.