A geometria do espaço tempo

No post passado informei um fato, o de que o tempo não passa igual para os dois irmãos gêmeos quando um deles se movimenta em relação ao outro. A estranheza que a dilatação do tempo gera é perfeitamente natural, e levou a uma revolução na física que derrubou conceitos clássicos creditados como verdadeiros por séculos. A história que leva à descoberta da relatividade é longa e cheia de detalhes. Não vou tocar nesse assunto, muito embora a abordagem histórica seja importante.

Meu objetivo é mostrar a beleza da descrição do universo dada pela teoria da relatividade. Mas para entender tudo isso, precisamos divagar um pouco em outros assuntos. O caminho é um pouco longo (para um blog), mas espero escrever de uma forma clara o suficiente para que todos possam ao final perceber a simplicidade da teoria. Um post somente é muito pouco para atingir esse objetivo, por isso não vou exatamete explicar a relatividade agora, mas abrirei o caminho para isso. Comecemos.

Esqueça a dilatação do tempo por um segundo e reflita. Referenciais diferentes descrevem o universo de formas diferentes. Diferentes, mas coerentes. O que isso quer dizer? Se você estiver numa casa e olhar para cima, provavelmente irá ver um teto. Mas se você estiver no teto, o espaço acima de você será o céu. O universo é diferente para esses observadores? Não é diferente, mas é descrito de forma diferente! Enquanto para o primeiro o teto faz parte do espaço "acima", para o segundo faz parte do espaço "abaixo". Mas se a primeira pessoa souber que a segunda está acima do teto, ele saberá também que a segunda descreverá o teto como parte do espaço "abaixo" para ela. Ou seja, as duas descrições do universo não são iguais mas também não são independentes. Se B está acima de A, e C está acima de B, C está acima de A. As descrições são diferentes para diferentes referencias. O espaço é um só.  Esse parágrafo é importante. Voltaremos a ele em outras ocasiões.

Vamos tornar as coisas mais matemáticas. Imagine que você está numa sala com uma régua. Você marca um ponto na sala e o chama de origem. Com cada uma das réguas, a partir da origem, vamos marcar a posição dos pontos no espaço como mostra a figura.  A cada ponto do espaço na sala corresponde um trio de números. Vamos chamar um dos ponto de P. P tem coordenadas (x,y,z).

 Agora imagine um segundo referencial O´, rotacionado em relação ao primeiro. Isso seria equivalente a usar 3 novas réguas para medir distâncias usando uma orientação diferente em relação às 3 primeiras, como mostra a figura. Com esse referencial, também podemos mapear todo o espaço da sala com um trio de números.

O ponto P tem, nesse referencial, coordenadas (x´,y´,z´), que não são iguais aos (x,y,z) anteriores. A descrição dos diversos pontos do espaço muda com a orientação relativa dos dois referenciais. O trio de números assinalados ao ponto P não é o mesmo para os dois referenciais.  

Agora note uma coisa importante. Pouco importa como você orienta as réguas para dar posições aos diversos pontos. A distância entre o ponto P e qualquer outro dentro da sala não muda com sua descrição do espaço. Ou seja, o fato da lâmpada estar perto ou longe da porta não tem nada haver com o referencial que você escolhe para mapear os diversos pontos. O referencial é uma mera abstração matemática que associa a cada ponto 3 números.

Assim, as relações geométricas no espaço da sala não dependem da forma como as expressamos! Tanto faz se usamos as réguas com uma orientação ou outra, ou se marcamos a origem num ponto ou outro. Se calcularmos a distância entre dois pontos usando coordenadas (x,y,z) ou (x',y',z') o resultado será o mesmo.Se chegarmos a conclusão, por exemplo, de que as paredes são paralelas num referencial, também devemos chegar a mesma conclusão usando qualquer outro referencial. O espaço da sala e suas relações geométricas são únicos, muito embora a descrição depdenda do referencial.

Em linguagem matemática: como a origem dos dois referenciais coincide, a soma x²+y²+z² ( que é a distância de P à origem) é igual à soma x'²+y'²+z'². Assim, embora a descrição da posição do ponto P mude de acordo com o referencial, há uma grandeza que é sempre invariante (a distância entre dois pontos). A necessidade da igualdade da distância nos dois referencias assegura a coerência entre as 2 descrições.

Isso é geometria. O que a geometria poderia ter haver com a dilatação do tempo?

Na teoria da relatividade assumimos que todos os eventos que acontecem no universo acontecem em algum lugar do espaço e em algum instante de tempo. Por exemplo, um desses eventos seria você lendo esse texto. O local desse evento é em frente ao computador, e o tempo exatamente agora. Por exemplo:

Evento: queda de um lápis no chão.
Local: local no chão onde o lápis caiu.
Tempo: 1 hora atrás.

Vimos no parágrafo passado como podemos localizar qualquer ponto do espaço com um trio de números (as coordenadas x,y,z de um sistema cartesiano, por exemplo). Logo, podemos então, em princípio, localizar todos os eventos do universo com 4 coordenadas: 3 para a posição, e 1 para o tempo em que o evento ocorreu. Vamos então dar o nome  do conjunto de todos os eventos do universo de espaço-tempo. Esse nome vem do fato de que a cada evento podemos associar coordenadas espaciais e temporais. Note a semelhança com os referenciais geometricos do exemplo da sala. A diferença aqui é que além do espaço, localizamos os pontos também no tempo.

Assim, voltando ao exemplo da sala, imagine que um referencial "A" tem além de réguas, um relógio preciso. A tudo que acontece na sala "A" associa 4 números, 3 para a posição e 1 para o tempo. No entanto, seu referencial não é único. Seja "B" um referencial que se move em relação a "A" com velocidade constante 

"B" também pode associar a cada evento uma posição (x´,y´,z´) e um tempo (t´) dado pelo seu próprio relógio. Vamos imaginar que "A" e "B" analisam dois eventos na sala.Cada um mapeia esses eventos no espaço e no tempo de acordo com o seu sistema de coordenadas próprio (réguas e relógio).

     1º evento           2ºevento
A-> (xo,yo,zo,to)        (x,y,z,t)
B-> (xo´,yo´,zo´,to´)    (x´,y´,z´,t´)

Pois bem, dadas essas condições, aparece uma surpresa. Se "A" e "B" usarem cada um os quartetos de números que acharam em seus referenciais e calcularem a expressão

(x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)²-c²(t-to)²  ( expressão que A calcula usando seu referencial)

(x'-xo')²+(y'-yo')²+(z'-zo')²-c²(t'-to')²  (expressão que B calcula usando seu referencial)

onde c é aproximadamente o número 300000000, essa quantidade é a mesma para os dois referenciais! Isso vale para quaisquer dois eventos analisados por A e B.

Por que ? Porque todos os experimentos confirmam isso. Isso é algo que sempre se observa. É mais um fato, como o fato da Terra ser redonda ou de uma maça cair da sua mão se você a soltar. Essa quantidade que cada referencial pode calcular recebe o nome especial de ''intervalo espaço-temporal''. Portanto, resumindo, o intervalo espaço-temporal calculado por A e B é sempre o mesmo para quaisquer dois eventos.

As implicações desse fato são tremendas.

1) Por exemplo, suponha que uma bola está rolando dentro da sala. Ela começa no meio de uma parede e segue em linha reta com velocidade constante até o meio da parede oposta. Digamos que o referencial A está parado no ponto onde a bola começa o trajeto. Suponhamos que B seja a própria bola, com um relógio preso a ela. Para calcular o intervalo espaço temporal, precisamos de dois eventos. Vamos escolher
como o primeiro evento  aquele que ocorre quando A solta a bola do meio de uma parede, e como segundo evento aquele quando a bola toca o meio da parede oposta (ou seja, o final do trajeto).

"A" assinala a ao primeiro evento coordenadas xo=0 yo=0 zo=0 e um tempo to=0 (ele começa a cronometrar o tempo a partir do instante em que solta a bola) . Para o evento da bola tocando o meio da parede oposta, A assinala y=5 metros x=0 z=0 e um certo tempo t.

Já no referencial da bola, B, o primeiro evento também recebe coordenadas xo'=0 yo'=0 zo'=0 e to'=0. Para o segundo evento, a bola tocando a parede, o referencial da bola associa como coordenadas espaciais x=0 y=0 z=0 ( para o referencial da bola, o evento de tocar a parede acontece na própria origem).

Mas se o intervalo espaço-temporal é invariante:

(x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)²-c²(t-to)²=(x'-xo')²+(y'-yo')²+(z'-zo')²-c²(t'-to')²  

(lembre-se que c é um número aproximadamente igual a  300000000).

A conclusão é que A e B discordam sobre o tempo que a bola leva para percorrer seu trajeto até tocar a parede. É só substituir os valores:

(0-0)²+(5-0)²+(0-0)²-c²t²=(0-0)²+(0-0)²+(0-0)²-c²(t')² 

t'=t-(5²/c²)

Essa fórmula permite calcular exatamente essa diferença de tempo, inclusive! Mágica? Porque isso é verdade? E por que o número 300000000 é especial? (Uma observação, note que c tem que ter unidades de comprimento/tempo para que possamos somar quantidades com a mesma dimensão na expressão do intervalo espaço-temporal). Por que ninguém nunca notou isso? Como expliquei no post anterior, isso se deve ao fato de que relógios ultra precisos não são comuns. Note que c é um número muito grande. A diferença de tempo calculado nesse exemplo é de 25/c² que é de aproximadamente 0,00000000000000027 segundos. 

O fato de x²+y²+z²-(ct)² não depender do referencial usado para calculá-lo explica muitas coisas. Inclusive a diferença de idade dos irmãos gêmeos no post anterior. Mas e o que explica a igualdade entre os intervalos espaço-temporais? Veja que só mudamos a pergunta. E mais uma surpresa, c é exatamente igual à velocidade da luz. O que a luz tem haver com isso? Isso fica para os próximos posts. A definição dessas novas perguntas irá facilitar nosso caminho para a relatividade.

2)Agora um ponto muito importante. Antes havíamos usado 2 sistemas de referência para descrever o espaço numa sala. Ali, a ''distância'' entre quaisquer 2 pontos era invariante, não importando que referenciais usássemos. Isso garantia que, embora as descrições do espaço fossem diferentes nos diferentes referenciais, houvesse uma coerência entre essas descrições.

Aqui, estamos mapeando não o espaço, e sim o espaço-tempo ( conjunto de eventos). Aqui também podem haver referenciais diferentes para descrever o mesmo espaço-tempo, por exemplo, A e B que tem uma velocidade relativa constante um em relação ao outro. Mas encontramos o análogo no espaço-tempo do que é a distância para o espaço: o intervalo espaço-temporal,  é uma quantidade que pode ser calculada
usando-se qualquer referencial, mas que seu valor no entanto não depende do referencial que usamos. Assim, embora referenciais discordem de quando e onde os eventos no universo ocorreram, o intervalo espaço-temporal calculado por eles é sempre o mesmo. Será que poderíamos ir adiante e criar uma geometria do espaço-tempo?

Sim. Essa é a teoria da relatividade.

A dilatação do tempo pra quem não a conhece

Esse post tem a mera intenção de informar um fato. É fato que uma maçã cai da sua mão se você a soltar. É fato que os raios que vemos nas tempestades são descargas elétricas. É fato também que a Terra é redonda. Como você sentiria se houvesse um fato muito estranho e surpreendente que ninguém nunca lhe contou? Se você nunca estudou física moderna, é bem provável que existam vários. 

Um experimento mostra isso de forma drástica. Imagine dois irmãos gêmeos, A e B. Imagine também que os dois tem dois relógios muito bons, que medem intervalos de tempo com grande precisão. Na verdade, enorme precisão. Isso siginifca que, por exemplo, ao parar o cronômetro, o relógio marcaria um tempo como 1,22222256677674146765767 segundos, ao invés de 1,22 segundos somente.

Ok, agora digamos que A entra num carro, vai até a padaria no final da rua perto de casa e volta.  Enquanto isso, B fica parado quieto em casa. Ao voltar de viagem, A mostra a seu irmão  que o tempo total da viagem, da saída ao retorno foi de uma certa quantidade t cronometrado pelo seu relógio ultra-preciso. Para a sua surpresa, o tempo que seu irmão gêmeo marca como sendo o total da viagem é diferente!! A diferença é  muito pequena. Na verdade, um relógio de pulso tradicional não teria precisão para mostrar essa diferença. Mas ainda assim há uma diferença. Será que um dos relógios estava quebrado?

Se A repetisse a experiência usando um jato super sônico ao invés de um carro, o resultado seria que a diferença de tempo ainda existira... e seria maior! Se fosse possível ir até a padaria em veículos que se movessem muito próximos a velocidade da luz, a diferença de tempo seria muito grande. Talvez quando retornasse à casa, B estivesse já cheio de rugas e cabelos grisalhos. Os irmãos gêmeos agora tem idades diferentes!

O que é isso? Essa diferença no tempo marcado é real? Sim! O tempo não passa igual para todos. A velocidade tem haver com isso como mostra o experimento acima? Sim. Experimentos mostraram isso, e continuam mostrando todos os dias. Você nunca notou nada porque relógios ultra precisos não são muito comuns! O que a velocidade da luz tem haver com isso? O que faz dela especial? Isso causa grande espanto num primeiro contato. Aliás não só num primeiro contato. E agora?  Ainda é possível entender alguma coisa?

Tudo isso já foi explicado  no começo do século passado. Isso é um capítulo da física moderna chamada  teoria da relatividade. Ela explica essa diferença de tempo... e muitas outras coisas de uma forma espantosamente simples. Nos posts seguintes irei mostrar essa explicação. Existem muitos textos sobre teoria da relatividade para leigos, mas a forma como vou apresentá-la creio ser um pouco diferente. Espero conseguir mostrar porque a explicação merece esse adjetivo (muito adequado) de simples. É impossível não perceber que há uma beleza nas leis da física quando você percebe que todo o universo segue determinadas leis que dificilmente poderiam ser diferentes... e que das explicações possíveis a mais simples ou é a única possível ou a que se confirma. Há muito mais para ser dito sobre isso.

Acho muito injusto que a maioria das pessoas não saibam desses fatos tão importantes.
O universo é bizarro e tanta gente sequer desconfia...

Apresentação

Você já parou um dia e se perguntou se tudo que as pessoas dizem sobre o mundo é realmente verdade? Que a Terra é uma bola no meio de um vazio escuro...Que o mundo gira e que o tempo não volta...O que levou as pessoas a proclamarem tais coisas? E o mais importante, por que você concordou com isso?

Infelizmente temos que descobrir o mundo quando somos crianças. Nessa idade, apesar de termos muita curiosidade, não temos capacidade nem conhecimento pra argumentar com um adulto ou com nós mesmos. As perguntas ficam e morrem sem respostas muitas vezes.O resultado é que crescemos com uma visão muito conveniente pra levar a vida de forma simples, mas muito, muito problemática para entender como o mundo funciona.

Por exemplo, as pessoas tem um senso comum de como o tempo, o espaço e as coisas se comportam. Supõe-se que as coisas existem no tempo e espaço, e toda a linguagem é desenvolvida a partir desses conceitos primitivos.  Aliás o que é o tempo? O que é o espaço? O que é uma coisa? Você passa o dia usando essas palavras no seu vocabulário, mas nunca se preocupou em definí-las. Existe definição? É preciso definir? Faz sentido definir? Você ja se preocupou com essas perguntas, ou com o fato  de que pra muitas delas ninguém nunca deu uma resposta?
 

Essas perguntas filosóficas (ou físicas!) servem, no mínimo, para motivar o estudo objetivo dos mecanismos de funcionamento da própria natureza. Filosofar sobre o universo é interessante, mas não é ciência. A ciência que estuda o universo é a física, e o melhor conhecimento científico que se tem do mundo atualmente vem da física moderna.Conhecimentos que as pessoas assumem como verdades impossíveis de serem derrubadas se perdem completamente quando começamos a estudá-la. Essa parte da ciência é muito especial e diferente das outras, porque conhecê-la lhe permite questionar conceitos primitivos do mundo físico que muitos consideram intocáveis.  A física também usa vários conceitos primitivos em sua formulação. Mas eles não são
aqueles com os quais temos naturalidade.

Resolvi fazer esse blog após conversas com amigos. Percebi que a melhor forma de ter novas idéias é expondo as antigas. Tenho como objetivo profissional distante responder a perguntas difíceis  sobre o universo e aqui vou relatar um pouco dos meus estudos e perguntas que aparecem a todo instante. Isso necessariamente vai envolver física e reflexões sobre a mesma. Estou em um processo de aprendizagem intenso e a idéia é ter um local para reflexão sobre esses estudos livre de pressões acadêmicas.

É uma excelente forma de organizar minhas próprias idéias. Se você é um físico ou filósofo, isso pode lhe ajudar a ter insights sobre alguns assuntos. E se você é um leigo, pode ser proveitoso abrir a mente pra perguntas que você nem sabia que existiam.

Para que meus argumentos possam ser acompanhados por um público maior, irei tentar traduzir a linguagem matemática  abstrata das teorias em textos inteligíveis pela maioria das pessoas adultas. Vou dedicar um pouco de tempo para explicar as teorias vigentes. Meu foco não sãs as aplicações, e sim os fundamentos.
 

Leio muitos textos sobre física moderna para leigos que me dão a impressão de que o objetivo do autor é somente espantar e confundir. Isso parece propagar o mito na sociedade de que física moderna é um conjunto de lendas coletivas. E como ja dizia Einstein, se você não consegue explicar uma teoria pra sua avó, você não a entendeu... 

Irei dar muito mais enfase em perguntas do que em respostas. Na verdade, acho que qualquer texto sobre física deveria conter apenas pontos de interrogação ( ou, eventualmente, exclamações(!)). Vou assumir que você sabe um pouco de matemática e física, porque senão o negócio simplesmente não anda. 

Ahh, e afinal, que autoridade sou eu pra falar dessas coisas? Autoridade nenhuma! Sou um estudante de graduaçao em engenharia e bolsista de iniciação científica, mas venho estudando tudo isso a muito tempo. Sinta-se a vontade pra duvidar, de tudo que eu falo... postarei sites com material sobre cada assunto para que explicações diferentes possam ser comparadas. Me comprometo a checar com cuidado a validez dos meus argumentos quando os denominar "cientificamente comprovados", mas definitivamente, não sou ninguém para lhe falar o que é ou não verdade. De fato, ninguém pode lhe ditar o que é ou não verdade. Em suma, que tal tirar conslusões por si próprio?  Críticas, perguntas e principalmente idéias são muito bem vindas. Por favor, entrem em contato. 

Até breve!

Daniel.